«Привлекательность»

Это не тот вопрос, который мы должны решать; для наших целей вполне достаточно соображений о том, что человеческие возможности конечны, и поэтому известные нам определения должны с чего-то начинаться, и начинаться с терминов, неопределенных на данный момент времени, хотя не на вечные времена.

Вся традиционная чистая математика, включая аналитическую геометрию, может рассматриваться как состоящая полностью из суждений о натуральных числах. То есть термины, которые она содержит, могут быть определены через натуральные числа, а ее утверждения могут быть выведены из свойств натуральных чисел, если добавить идеи и утверждения чистой логики.

То обстоятельство, что традиционная чистая математика может быть выведена из натуральных чисел, является сравнительно недавним открытием, хотя это давно подозревалось. Пифагор, который верил, что не только математика, но и все остальное может быть выведено из чисел, открыл наиболее серьезную трудность на пути к тому, что называется «арифметизацией» математики. Именно Пифагор открыл существование несоизмеримости, и в частности несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Если длина стороны равна одному дюйму, число дюймов в диагонали равно корню квадратному из 2, который оказался вовсе не числом. Эта проблема была решена только в наши дни, и была решена полностью только с помощью сведения арифметики к логике, которое будет объяснено в следующих главах. Пока же мы примем за факт арифметизацию математики, хотя этот процесс был настоящим подвигом огромной важности.

После сведения традиционной чистой математики к теории натуральных чисел следующим шагом в логическом анализе было сведение самой этой теории к небольшому числу предпосылок и неопределенных терминов, из которых она могла бы быть выведена. Эта работа была проделана Пеано. Он показал, что вся теория натуральных чисел может быть выведена из трех примитивных идей и пяти примитивных утверждений плюс чистая логика. Эти три идеи и пять утверждений стали залогом для всей традиционной чистой математики. Если они Могли бы быть определены и доказаны в терминах других идей и утверждений, то это же справедливо для всей чистой математики.