«Привлекательность»

Т + п.

По утверждению (5) это дает нам определение суммы тип для любых тип. Подобным же образом можно определить произведение двух чисел. Читатель может легко убедиться, что любое элементарное утверждение арифметики может быть доказано с помощью наших пяти посылок, а если у него возникнут трудности, он может найти доказательства у Пеано.

Сейчас самое время обратиться к рассмотрениям, выходящим за пределы того, что сделал Пеано, а именно к самому последнему усовершенствованию «арифметизации» математики, проделанному Фреге. Он был первым, кто преуспел в «логицизации» математики, то есть в сведении арифметических понятий к логике, и что, как показали его предшественники, равносильно сведению всей математики. В этой главе мы не будем давать определение числа или конкретных чисел, как это сделал Фреге, а дадим некоторые соображения по поводу того, почему трактовка Пеано является менее законченной, чем она казалась поначалу.

Во-первых, три примитивных идеи Пеано, а именно: «О», «последующий элемент» и «число» — могут иметь бесконечное количество различных интерпретаций, все из которых удовлетворяют пяти примитивным утверждениям. Мы дадим несколько примеров.

(1) Пусть «О» означает 100, и пусть «число» означает все числа в натуральном ряду, начиная со 100. Тогда все наши примитивные утверждения выполняются, даже четвертое, потому что, хотя 100 есть последующий элемент 99, 99 не есть «число» в том смысле, в котором мы сейчас употребляем слово «число». Ясно, что в этом примере вместо 100 может быть подставлено любое другое число.

(2) Пусть «0» имеет свое обычное значение, но пусть «число» означает то, что мы обычно называем четными числами и пусть «последующий элемент» получается добавлением двух к предыдущему числу. Тогда «1» будет выполнять роль двойки, «2» — роль четверки, и так Далее; ряд «чисел» будет таковым:

О, двойка, четверка, шестерка, восьмерка...

Все пять утверждений Пеано будут опять-таки выполняться. (3) Пусть «О» означает число один, и пусть «число» означает множество

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,

и пусть «последующий элемент» означает «половину». И тогда пять аксиом Пеано будут истинными для этого множества.

Ясно, что такие примеры можно умножать бесконечно. В частности, если задан некоторый ряд

x0,xl,x2, хЗ,... хп,