«Привлекательность»

Этот ряд есть прогрессия, и все дроби рано или поздно встретятся в ней. Отсюда мы можем построить дроби в прогрессию, и их число, следовательно, есть N0.

Неверно, однако, что все бесконечные совокупности имеют N0 терминов. Число действительных чисел, например, больше, чем N0, на самом деле оно равно 2К°, и нетрудно доказать, что 2" больше п даже тогда, когда п бесконечно. Самый легкий способ доказать это состоит в доказательстве, во-первых, того, что если класс имеет п членов, он содержит 2" подклассов, — другими словами, имеется 2" способов выбора некоторых его членов (включая предельные случаи, когда мы выбираем все или ничего); и, во-вторых, что число подклассов, содержащихся в классе, всегда больше, чем число членов этого класса. Из двух предложений первое знакомо по конечным числам, и нетрудно распространить его на бесконечные числа. Доказательство второго столь просто и поучительно, что я приведу его:

Во-первых, ясно, что число подклассов данного класса (скажем, а) по крайней мере столь же велико, как число членов, так как каждый член составляет подкласс, и мы, таким образом, имеем соответствие всех членов с некоторыми подклассами. Отсюда следует, что число подклассов не равно числу его членов, оно должно быть больше. Легко доказать, что число все-таки не равно. Для этого нужно показать, что если дано одно-однозначное отношение, чья область состоит из членов, а обратная область содержится среди множества подклассов, должен быть, по крайней мере, один подкласс, не принадлежащий обратной области. Доказательство таково'. Когда установлено одно-однозначное соответствие R между всеми членами и некоторыми подклассами, может случиться, что данный член х соответствует подклассу, членом которого он является; или же может случиться, что х соответствует подклассу, членом которого он не является. Давайте образуем целый класс, скажем /?, из тех членов х, которые соответствуют подклассам, членами которых они не являются. Это будет подкласс класса а, и он не находится в соответствии ни с одним членом а. Действительно, рассмотрим сначала члены /3, каждый из них соответствует (по определению /?) некоторому подклассу, членом которого он не является и, следовательно, не находится в соответствии с /5. Берем теперь термины, которые не являются членами /? каждый из которых (по определению уЗ) находится в соответствии с некоторым подклассом, членом которого он является, и следовательно, опять-таки не находится в соответствии с /?.