«Привлекательность»

1 Les paradoxes de la logique, 1906, p. 627-650.

Различные аргументы по поводу существования бесконечных классов даны в Principles of Mathematics, § 339 (p. 357). В той степени, в какой эти аргументы предполагают, что если п есть индуктивное кардинальное число, п не равно п + 1, они уже разбирались. Имеется аргумент, рассмотренный Платоном в диалоге «Парменид», суть которого в том, что если имеется такое число, как 1, тогда 1 имеет бытие; но 1 не тождественно бытию, и, следовательно, 1 и бытие есть два, и, следовательно, имеется такое число, как 2, а 2 вместе с 1 составляют класс из трех терминов и т. д. Этот аргумент ложен, частично потому, что «бытие» не есть термин, имеющий некоторое определенное значение, а еще больше потому, что если для него изобретено определенное значение, будет найдено, что числа не имеют бытия — они на самом деле то, что называется «логическими фикциями», как мы это увидим, когда подойдем к рассмотрению определения классов.

Аргумент, по которому число чисел от 0 до и (включительно для обоих терминов) есть п + 1, зависит от предположения, что для любого числа вплоть до п ни одно число не равно своему последующему элементу. А это, как мы видели, не всегда истинно, если ложна аксиома бесконечности. Должно быть понятно, что равенство п = п + 1, которое могло бы быть истинно для конечного и, в случае, если п превышает общее число индивидов в мире, будет совершенно другим, нежели равенство для рефлективных чисел. В случае рефлективных чисел равенство означает, что если задан класс п терминов, то этот класс «подобен» классу, получаемому прибавлением другого термина. Но в применении к числу, которое слишком велико для действительного мира, оно просто означает, что не имеется класса с п индивидами. Это не значит, что если мы нагромоздим иерархию типов, достаточно большую для гарантии существования класса из п терминов, то обнаружим, что этот класс «подобен» одному из его п + 1 терминов, потому что если п есть индуктивное число, то это не случится, независимо от истинности или ложности аксиомы бесконечности.

' Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 13.